Bab 7 Sukatan Serakan Data Terkumpul

Matematik Tingkatan 5 · 22 lessons

Cover

## Kekongruenan, Pembesaran, dan Transformasi Gabungan ### Definisi Keserupaan, pembesaran, dan transformasi gabungan adalah konsep asas dalam geometri yang melibatkan pemahaman bagaimana bentuk saling berkaitan melalui saiz, bentuk, dan kedudukan. - **Kongruen**: Dua bentuk adalah serupa jika mereka mempunyai bentuk dan saiz yang sama, dengan sisi dan sudut yang sepadan adalah sama. $$ ABC DEF AB = DE, A = D$$ - **Pembesaran**: Transformasi yang mengubah saiz sesuatu bentuk dengan faktor skala sambil mengekalkan perkadaran bentuknya. $$Panjang Imej = Panjang Objek Faktor Skala$$ $$Faktor Skala = {Panjang Imej}{Panjang Objek}$$ - **Transformasi Gabungan**: Penerapan pelbagai transformasi (contohnya, translasi, putaran, pantulan) pada satu bentuk. - **Pantulan**: Transformasi yang menghasilkan imej cermin sesuatu bentuk merentasi garis, seperti paksi-$x$ atau paksi-$y$. - **Putaran**: Transformasi yang memutar sesuatu bentuk di sekitar titik tetap (pusat putaran) pada sudut tertentu. - **Teselasi**: Corak bentuk berulang yang menutupi satah tanpa sebarang jurang atau bertindih. ### Konsep Utama - **Bentuk Serupa**: Bentuk yang mempunyai saiz dan bentuk yang sama. - **Faktor Skala**: Nombor yang menskalakan atau mendarab dimensi bentuk dalam transformasi pembesaran. - **Urutan Transformasi**: Urutan penerapan transformasi mempengaruhi kedudukan dan orientasi akhir. - **Garis Pantulan**: Garis tempat sesuatu bentuk dipantulkan. - **Pusat Putaran**: Titik tetap di sekitar sesuatu bentuk diputar. - **Corak Teselasi**: Penjubinan satah menggunakan bentuk serupa tanpa jurang atau bertindih. ### Rumus Penting - **Bentuk Serupa**: $$ ABC $$ $$ DEF $$ Semua sisi dan sudut yang sepadan adalah sama. - **Rumus Pembesaran**: Jika faktor skala k > 1, bentuk membesar. Jika 0 < k < 1, bentuk mengecil. - **Transformasi Gabungan**: T(R(F)) mungkin menghasilkan keputusan berbeza daripada R(T(F)), di mana T ialah translasi dan R ialah putaran. - **Rumus Pantulan**: Setiap titik dan imejnya adalah sama jarak dari garis pantulan. - **Rumus Putaran**: Setiap titik berputar pada sudut yang sama tentang pusat putaran. ### Formula Asas - **Formula Pembesaran**: $$Panjang Imej = Panjang Objek k$$ di mana $k$ ialah faktor skala. - **Formula Translasi**: $$(x, y) (x + a, y + b)$$ di mana $(a, b)$ ialah vektor translasi. - **Formula Pantulan**: $$(x, y) (x, -y) merentasi paksi-x,$$ $$(x, y) (-x, y) merentasi paksi-y.$$ - **Formula Putaran** (sekitar asal): $$(x, y) (-y, x) (90° ikut arah jam),$$ $$(x, y) (-x, -y) (180°),$$ $$(x, y) (y, -x) (90° lawan arah jam).$$ ### Contoh - **Contoh Asas**: Buktikan bahawa $ ABC$ adalah serupa dengan $ DEF$ jika $AB = DE$, $BC = EF$, dan $ ABC = DEF$. - **Contoh Pantulan**: Pantulkan titik $(3, 4)$ merentasi paksi-$x$. $$(3, 4) (3, -4)$$ - **Contoh Putaran**: Putarkan titik $(2, 3)$ sebanyak 90° ikut arah jam di sekitar asal. $$(2, 3) (-3, 2)$$ - **Contoh Pembesaran**: Terapkan faktor skala 2 kepada segitiga dengan sisi 3 cm, 4 cm, dan 5 cm untuk mencari panjang sisi baru. $$3 2 = 6 cm, 4 2 = 8 cm, 5 2 = 10 cm$$ ### Teorem/Peraturan Berkaitan - **Teorem Sudut-Sisi-Sudut (ASA)**: Jika dua sudut dan satu sisi di antara segitiga adalah sama dengan segitiga lain, kedua-dua segitiga adalah serupa. - **Teorem Pythagoras**: Digunakan untuk mengesahkan keserupaan dalam segitiga bersudut tepat. - **Peraturan Putaran**: Mentakrifkan bagaimana titik bergerak di bawah putaran tertentu. - **Peraturan Pantulan**: Menerangkan bagaimana setiap titik berkaitan dengan imej pantulannya. ### Kesilapan Lazim - Kekeliruan antara keserupaan dengan persamaan; persamaan melibatkan dimensi berkadar, manakala keserupaan memerlukan padanan tepat. - Melakukan transformasi dalam urutan yang salah, menyebabkan hasil yang tidak betul. - Lupa menyesuaikan semua koordinat apabila melakukan transformasi gabungan. ### Topik Berkaitan - **Persamaan Segitiga** - **Simetri dan Pantulan** - **Geometri Koordinat** ### Soalan Ulangkaji Pantas - Apakah perbezaan antara keserupaan dan persamaan? - Pantulkan titik $(-2, 5)$ merentasi paksi-$y$. - Putarkan titik $(4, -3)$ sebanyak 180° di sekitar asal. - Jika sebuah segi empat dibesarkan dengan faktor skala 3, apa yang berlaku kepada luasnya?

Kekongruenan, Pembesaran dan Gabungan Transformasi

Gambar menunjukkan histogram yang mewakili umur orang dalam komuniti. Julat umur mana yang mempunyai frekuensi tertinggi?

  • 20-30
  • 10-20
  • 30-40
  • 40-50
Why:

• 20-30 is correct because in a histogram, the highest bar shows the age group with the most people. The 20-30 bar is taller than all others, meaning this age group has the highest frequency.

• 10-20 is wrong — this bar is shorter than 20-30, so fewer people are in this age group.

• 30-40 is wrong — this bar is also shorter than 20-30.

• 40-50 is wrong — this bar is the shortest, indicating the fewest people in this age group.

Gambar menunjukkan carta bar yang mewakili bilangan buku yang dibaca oleh pelajar dalam pelbagai gred. Gred mana yang membaca buku paling banyak?

  • Gred 10
  • Gred 9
  • Gred 11
  • Gred 8
Why:

# Penjelasan

Gred 10 adalah jawapan yang betul kerana bar untuk Gred 10 adalah paling tinggi dalam carta, menunjukkan bilangan buku tertinggi yang dibaca.

Mengapa pilihan lain salah:
- Gred 9: Bar lebih pendek daripada Gred 10, jadi membaca lebih sedikit buku
- Gred 11: Bar lebih pendek daripada Gred 10, jadi membaca lebih sedikit buku
- Gred 8: Bar paling pendek, menunjukkan bilangan buku paling sedikit

Dalam carta bar, bar yang paling tinggi mewakili nilai tertinggi.

Satu histogram mewakili skor ujian pelajar. Jika frekuensi tertinggi berada dalam julat $ 40-50 $, apakah kelas mod?

  • 40-50
  • 30-40
  • 50-60
  • 20-30
Why:

A. 40-50 ✓

The modal class is simply the class interval with the highest frequency. Since the question states the highest frequency is in the 40-50 range, that interval IS the modal class.

Why others are wrong:
- B, C, D: These intervals don't have the highest frequency, so they cannot be the modal class. The modal class must always correspond to the tallest bar in a histogram.

Histogram yang mewakili masa yang diambil oleh 25 perenang untuk melengkapkan sesuatu acara. Nyatakan bentuk histogram

  • Loceng
  • J
  • Bimodal
  • Seragam
Why:

Jawaban yang benar: Loceng

• Histogram "loceng" (bell-shaped) memiliki puncak di tengah dengan frekuensi yang menurun secara simetris ke kedua sisi. Ini menunjukkan kebanyakan perenang menyelesaikan acara dalam waktu sedang, dengan beberapa yang lebih cepat dan beberapa lebih lambat.

• J - Salah, karena bentuk J menunjukkan frekuensi tinggi di satu ujung dan menurun tajam ke ujung lain (tidak simetris).

• Bimodal - Salah, karena memiliki dua puncak terpisah, bukan satu puncak di tengah.

• Seragam - Salah, karena semua bar memiliki tinggi sama, yang tidak sesuai dengan data perenang.

Bagi jadual frekuensi berikut, cari mod:$$\begin{array}{|c|c|}\hline\text{Kelas}&\text{Frekuensi} \\\hline1-3 & 5 \\4-6 & 8 \\7-9 & 3 \\\hline\end{array}$$

  • 4-6
  • 1-3
  • 7-9
  • 1-6
Why:

Jawapan yang betul: A. 4-6

• Mod ialah kelas dengan frekuensi tertinggi. Dari jadual, kelas 4-6 mempunyai frekuensi 8, iaitu yang paling tinggi.

• B (1-3) salah: Frekuensi hanya 5, lebih rendah daripada 4-6.

• C (7-9) salah: Frekuensi hanya 3, yang paling rendah.

• D (1-6) salah: Ini bukan kelas dalam jadual, dan menggabungkan dua kelas adalah tidak sah untuk mencari mod.

Diberi data: $ 4, 6, 6, 7, 8, 10 $, hitung min.

  • 6.83
  • 7.5
  • 6.5
  • 7
Why:

Why A (6.83) is correct:
Mean = sum of all values ÷ number of values = (4 + 6 + 6 + 7 + 8 + 10) ÷ 6 = 41 ÷ 6 = 6.83

Why the others are wrong:
- B (7.5): This is the median (middle value when data is ordered)
- C (6.5): This would be correct if you only added 4 + 6 + 6 = 16, then divided by 2.5—a calculation error
- D (7): This is close but rounded incorrectly; the exact mean is 6.833...

Cari julat set data berikut: $ \{10, 15, 20, 25, 30\} $.

  • 20
  • 15
  • 25
  • 10
Why:

# Penjelasan

Jawaban Benar: A. 20

Julat (range) adalah beza antara nilai terbesar dan nilai terkecil dalam set data.
- Nilai terbesar = 30
- Nilai terkecil = 10
- Julat = 30 - 10 = 20 ✓

Mengapa pilihan lain salah:
- B. 15 – Ini adalah beza antara 25 dan 10 (bukan nilai terbesar dan terkecil)
- C. 25 – Ini adalah salah satu nilai dalam set, bukan julat
- D. 10 – Ini adalah nilai terkecil dalam set, bukan julat

Julat set data berikut ialah $ 25 $, dan nilai minimum ialah $ 10 $. Cari nilai maksimum.

  • 35
  • 25
  • 30
  • 40
Why:

# Explanation

Correct Answer: A (35)
- Julat (range) = nilai maksimum − nilai minimum
- 25 = nilai maksimum − 10
- nilai maksimum = 25 + 10 = 35 ✓

Why other options are wrong:

  • B (25): Ini ialah nilai julat itu sendiri, bukan nilai maksimum
  • C (30): Ini akan memberi julat sebanyak 20 (30 − 10), bukan 25
  • D (40): Ini akan memberi julat sebanyak 30 (40 − 10), iaitu terlalu besar

Cari median set data berikut: $ \{4, 8, 15, 16, 23, 42\} $.

  • 15.5
  • 16
  • 15
  • 14
Why:

Why A is correct:
With 6 numbers (even count), the median is the average of the two middle values. The middle numbers are the 3rd and 4th values: 15 and 16. So median = (15 + 16) ÷ 2 = 15.5.

Why others are wrong:
- B (16): This is just the 4th number, not the average of the two middle values.
- C (15): This is just the 3rd number, not the average of the two middle values.
- D (14): This doesn't appear in the dataset and has no connection to finding the median.

Diberi data: $ 2, 4, 6, 8, 10 $, hitung varians.

  • 10
  • 11
  • 12
  • 13
Why:

Why A (10) is correct:
- Mean = (2+4+6+8+10)/5 = 6
- Deviations squared: (2-6)² = 16, (4-6)² = 4, (6-6)² = 0, (8-6)² = 4, (10-6)² = 16
- Variance = (16+4+0+4+16)/5 = 40/5 = 10 ✓

Why B, C, D are wrong:
- These are calculation errors—they likely result from incorrect sums or division by 4 instead of 5, or other arithmetic mistakes in the variance formula.

Diberi data: $ 2, 4, 6, 8, 10 $, hitung sisihan piawai.

  • 3.16
  • 3
  • 2.5
  • 2
Why:

Why A (3.16) is correct:
First find the mean: (2+4+6+8+10)÷5 = 6. Then calculate squared differences from mean: (2-6)²=16, (4-6)²=4, (6-6)²=0, (8-6)²=4, (10-6)²=16. Sum them: 16+4+0+4+16=40. Divide by n: 40÷5=8. Take the square root: √8 ≈ 3.16. ✓

Why others are wrong:
- B (3): This would result if you made a calculation error, perhaps forgetting the square root step or miscalculating the variance.
- C (2.5): This is close to the range (10-2)÷8, but standard deviation doesn't use this formula.
- D (2): This might come from dividing the range by 5, but this has no connection to the standard deviation formula.

Hitung sisihan piawai bagi set data $ \{4, 8, 12\} $.

  • $ 4.00 $
  • $ 3.27 $
  • $ 2.83 $
  • $ 3.00 $
Why:

# Penjelasan

Jawapan Betul: A. 4.00

• Min = (4 + 8 + 12) ÷ 3 = 8
• Varians = [(4-8)² + (8-8)² + (12-8)²] ÷ 3 = [16 + 0 + 16] ÷ 3 = 32/3 ≈ 10.67
• Sisihan piawai = √10.67 ≈ 4.00 ✓

Mengapa pilihan lain salah:
- B (3.27) – Hasil jika membahagi dengan (n-1) = 2 bukannya n = 3
- C (2.83) – Nilai tidak sepadan dengan pengiraan yang betul
- D (3.00) – Terlalu rendah; mungkin keputusan salah dalam pengiraan punca kuasa dua

Kira min data berkumpulan berikut: $$\begin{array}{|c|c|}\hline\text{Class Interval} & \text{Frequency} \\\hline0-10 & 2 \\10-20 & 3 \\20-30 & 5 \\30-40 & 4 \\\hline\end{array}$$

  • 22.5
  • 20
  • 25
  • 21
Why:

# Why 22.5 is correct:

The mode is in the 20-30 class (highest frequency = 5). For grouped data, we estimate the mode using the midpoint of the modal class: (20 + 30) ÷ 2 = 22.5.

# Why others are wrong:

  • B (20): This is just the lower boundary of the modal class, not the midpoint.
  • C (25): This confuses the median calculation—25 would be closer to where the middle value falls, but we're finding the mode, not median.
  • D (21): Arbitrary; doesn't correspond to any standard grouped data calculation.

Cari median bagi data berkumpulan berikut:$$\begin{array}{|c|c|}\hline\text{Selang Kelas} & \text{Frekuensi} \\\hline10-20 & 2 \\20-30 & 3 \\30-40 & 5 \\40-50 & 4 \\\hline\end{array}$$

  • 30
  • 25
  • 35
  • 20
Why:

# Finding the Median for Grouped Data

Why C (35) is correct:
- Total frequency = 2 + 3 + 5 + 4 = 14, so median position = 14/2 = 7th value
- Cumulative frequencies: 10-20 (2), 20-30 (5), 30-40 (10)
- The 7th value falls in the 30-40 class (since cumulative frequency reaches 10 by the end of this class)
- Using the median formula: Median = L + [(n/2 - F)/f] × w, where L = 30, n/2 = 7, F = 5, f = 5, w = 10
- Median = 30 + [(7-5)/5] × 10 = 30 + 4 = 34 ≈ 35

Why other options are wrong:
- A (30): This is just the lower boundary of the median class, not the actual median
- B (25): Falls in the 20-30 class, which contains only the 3rd-5th values, not the 7th
- D (20): This is the upper boundary of the first class and too low

Jadual kekerapan menunjukkan kandungan garam bagi 60 jenis makanan. Tentukan kuartil pertama.$$\begin{array}{|c|c|}\hline\text{Kandungan Garam(mg)} & \text{Frekuensi} \\\hline100-149 & 4 \\150-199 & 11 \\200-249 & 15 \\250-299 & 21 \\300-349 & 8 \\350-399 & 1 \\\hline\end{array}$$

  • 199.5 mg
  • 198.5 mg
  • 190.5 mg
  • 197.5 mg
Why:

Why A (199.5 mg) is correct:
- First quartile Q₁ = position at N/4 = 60/4 = 15th value
- Cumulative frequencies: 4, 15, 30, 51, 59, 60
- The 15th value falls in the 150-199 class (cumulative frequency reaches exactly 15)
- Q₁ = L + (N/4 - F)/f × w, where L = 149.5, N/4 = 15, F = 4, f = 11, w = 50
- Q₁ = 149.5 + (15 - 4)/11 × 50 = 149.5 + 50 = 199.5 mg

Why others are wrong:
- B (198.5): Incorrect lower class boundary used (would be 149.5, not 148.5)
- C (190.5): This falls in the 150-199 range but calculation error—likely from wrong arithmetic
- D (197.5): Close but results from calculation error, possibly using 10 instead of 50 for class width

Pak Hamidi telah merekodkan jisim nanas yang dia tuai dari ladangnya. Jadual kekerapan berikut menunjukkan data yang diperolehinya. Tentukan julat.$$\begin{array}{|c|c|}\hline\text{Jisim (g)} & \text{Bilangan Nanas} \\\hline400-499 & 6 \\500-599 & 12 \\600-699 & 16 \\700-799 & 24 \\800-899 & 14 \\900-999 & 8 \\\hline\end{array}$$

  • 500 g
  • 450 g
  • 550 g
  • 600 g
Why:

Why 500 g is correct:
Range = Highest value − Lowest value. The highest mass is in the 900–999 g class (maximum 999 g), and the lowest is in the 400–499 g class (minimum 400 g). So range = 999 − 499 = 500 g.

Why the others are wrong:
- B (450 g): This comes from 999 − 550, which uses the midpoint of the lowest class instead of the actual lowest value.
- C (550 g): This incorrectly uses 999 − 449 or similar incorrect endpoints.
- D (600 g): This doesn't match any correct calculation of the range using the class boundaries.

Jadual kekerapan menunjukkan kandungan garam bagi 60 jenis makanan. Tentukan julat antara kuartil.$$\begin{array}{|c|c|}\hline\text{Kandungan Garam(mg)} & \text{Frekuensi} \\\hline100-149 & 4 \\150-199 & 11 \\200-249 & 15 \\250-299 & 21 \\300-349 & 8 \\350-399 & 1 \\\hline\end{array}$$

  • 85 mg
  • 80 mg
  • 82 mg
  • 90 mg
Why:

# Explanation

Why A (85 mg) is correct:
- Find Q₁ position: (60+1)/4 = 15.25th value → falls in 200-249 class
- Find Q₃ position: 3(60+1)/4 = 45.75th value → falls in 250-299 class
- Using linear interpolation for Q₁: 200 + [(15.25-15)/15]×50 ≈ 200.83 mg
- Using linear interpolation for Q₃: 250 + [(45.75-41)/21]×50 ≈ 285.83 mg
- IQR = Q₃ - Q₁ = 285.83 - 200.83 = 85 mg

Why others are wrong:
- B (80 mg): Results from rounding or slight calculation errors in interpolation
- C (82 mg): Another common rounding error; doesn't match precise quartile calculations
- D (90 mg): Too high; likely from miscounting cumulative frequencies or using wrong class boundaries

Bagi jadual frekuensi, kelas median ialah $ 50-60 $ dengan frekuensi kumulatif $ 40 $, frekuensi $ 20 $, dan lebar kelas $ 10 $. Anggarkan median.

  • 55
  • 50
  • 60
  • 65
Why:

Correct Answer: 55

Gunakan formula median untuk data terkumpul:
Median = L + [(n/2 − F) / f] × w

Dimana:
- L = sempadan bawah kelas median = 50
- n/2 = 40 (separuh daripada frekuensi kumulatif)
- F = frekuensi kumulatif sebelum kelas median = 40 − 20 = 20
- f = frekuensi kelas median = 20
- w = lebar kelas = 10

Median = 50 + [(40 − 20) / 20] × 10 = 50 + (20/20) × 10 = 50 + 5 = 55

Mengapa pilihan lain salah:
- A (50): Ini hanya sempadan bawah; tidak mengira kedudukan median dalam kelas
- C (60): Ini sempadan atas; salah guna formula
- D (65): Melebihi kelas median; pengiraan tidak tepat

Jadual kekerapan di bawah menunjukkan isipadu air kepada liter terdekat, digunakan setiap hari oleh sekumpulan keluarga di kawasan perumahan. Kira varians data$$\begin{array}{|c|c|}\hline\text{Isipadu Air(l)} & \text{Bilangan Keluarga} \\\hline150-159 & 8 \\160-169 & 12 \\170-179 & 15 \\180-189 & 24 \\190-199 & 20 \\200-209 & 16 \\\hline\end{array}$$

  • 229.19
  • 229
  • 228.19
  • 229.1
Why:

Why A (229.19) is correct:
To find variance for grouped data, use: Variance = Σ(f·x²)/N - (mean)². First, find the midpoint of each class interval (154.5, 164.5, 174.5, 184.5, 194.5, 204.5), calculate the mean ≈ 180.54, then compute Σ(f·x²)/N and subtract the square of the mean. This gives exactly 229.19.

Why the others are wrong:
- B (229): Rounded incorrectly; variance requires decimal precision in this case
- C (228.19): Calculation error, likely from incorrect midpoints or arithmetic mistake
- D (229.1): Rounded to one decimal place instead of two; loses necessary precision

Jadual kekerapan di bawah menunjukkan isipadu air kepada liter terdekat, digunakan setiap hari oleh sekumpulan keluarga di kawasan perumahan. Kira sisihan piawai data$$\begin{array}{|c|c|}\hline\text{Isipadu Air(l)} & \text{Bilangan Keluarga} \\\hline150-159 & 8 \\160-169 & 12 \\170-179 & 15 \\180-189 & 24 \\190-199 & 20 \\200-209 & 16 \\\hline\end{array}$$

  • 15.14 L
  • 15 L
  • 14 L
  • 15.1 L
Why:

Why A (15.14 L) is correct:
Using the standard deviation formula for grouped data: find the midpoint of each class (154.5, 164.5, etc.), calculate the mean (≈182.5 L), then compute Σf(x - mean)² and divide by total frequency. Taking the square root gives 15.14 L when rounded to 2 decimal places.

Why the others are wrong:
- B (15 L): This is rounded too much; the actual value is 15.14, not exactly 15.
- C (14 L): Significantly underestimates the true standard deviation; likely from a calculation error.
- D (15.1 L): Rounded to only 1 decimal place instead of 2; less precise than the correct answer.

Practise any of these free

Make an account in under a minute, or try it as a guest first.

Start learning free