Bab 5 Kekongruenan, Pembesaran dan Gabungan Transformasi
Matematik Tingkatan 5 · 22 lessons
Cover
## Asas Matematik Pengguna: Percukaian ### Definisi Matematik pengguna melibatkan aplikasi praktikal kemahiran aritmetik dan algebra untuk menyelesaikan masalah kewangan berkaitan kehidupan harian, seperti mengurus cukai. ### Konsep Utama - **Percukaian**: ialah satu proses hasil (wang) dikumpul daripada individu atau syarikat untuk digunakan dalam pembangunan negara dengan menyediakan pelbagai kemudahan (misalnya pendidikan, kesihatan, keselamatan, kebajikan) demi kesejahteraan semua rakyat. Semua hasil cukai yang dikutip berdasarkan akta-akta yang diluluskan dalam parlimen. - **Cukai Pendapatan**: Cukai yang dikenakan atas pendapatan yang diperoleh oleh seseorang individu bergaji atau sesebuah syarikat yang beroperasi di Malaysia. - **Pendapatan Bercukai**: Cukai pendapatan individu yang perlu dibayar dikira berdasarkan pendapatan bercukai. - **Jumlah Pendapatan Tahunan**: Jumlah pendapatan tahunan termasuk segala bentuk upah, gaji, bonus, dividen, faedah, sewa, royalti, premium dan sebagainya. - **Pengecualian Cukai**: Pengecualian cukai merujuk kepada semua perbelanjaan peribadi dalam bentuk hadiah, derma, sumbangan kepada kerajaan atau pelbagai organisasi, contohnya perpustakaan negeri dan badan rawatan kesihatan. - **Pelepasan Cukai**: Pelepasan cukai merujuk kepada perkara atau perbelanjaan bagi kepentingan persendirian atau ahli-ahli keluarga yang tidak dikenakan cukai pendapatan, antaranya caruman Kumpula Wang Simpanan Pekerja (KWSP), rawatan perubatan dan yuran pengajian. Jenis pelepasan cukai bergantung kepada dasar yang ditetapkan oleh kerajaan dan boleh berubah setiap tahun. - **Cukai Pendapatan**: Selepas pendapatan bercukai diperoleh, cukai pendapatan boleh ditentukan dengan merujuk jadual kadar cukai. Kadar cukai ditetapkan oleh kerajaan dan boleh berubah mengikut polisi kerajaan pada belanjawan tahunan. - **Rebat Cukai**: Rebat cukai diberikan untuk mengurangkan cukai yang perlu dibayar. Terdapat 2 jenis rebat cukai, iaitu: - Rebat cukai sebanyak RM400 jika Pendapatan Bercukai $$ RM35000 - Jumlah bayaran zakat atau fitrah - **Potongan Cukai Bulanan (PCB)**: ialah potongan pendapatan (saraan) pekerja untuk bayaran cukai pendapatan tahun semasa - **Cukai Jalan**: Cukai yang dikenakan terhadap pengguna jalan raya yang memiliki kenderaan termasuk motosikal dan kereta. Cukai jalan yang dikenakan adalah berdasarkan kapasiti enjin kenderaan yang digunakan oleh pemiliknya. - **Cukai Pintu**: Cukai yang dikenakan kepada semua pegangan atau harta tanah (rumah kediaman, perindustrian, bangunan komersial dan tanah kosong) untuk membiayai kos penyelenggaraan bandar seperti mengangkut sampah, membersihkan longkang dan sebagainya. Cukai ini ditetapkan oleh pihak berkuasa tempatan berdasarkan lokasi dan jenis hartanah. - **Cukai Tanah**: Cukai yang dikenakan terhadap pemilik tanah pertanian, tanah perusahaan dan tanah bangunan. Kadar cukai tanah ditetapkan oleh kerajaan negeri berdasarkan lokasi, saiz dan jenis tanah. - **Cukai Jualan dan Perkhidmatan**: Cukai jualan merupakan cukai yang dikenakan sekali sahaja atas pelbagai barangan bercukai pada peringkat pengeluaran atau pengimportan. Cukai perkhidmatan ialah cukai yang dikenakan terhadap pengguna yang menggunakan perkhidmatan bercukai tertentu seperti perkhidmatan hotel, insurans dan takaful, penyediaan makanan dan minuman, telekomunikasi, kad kredit dan sebagainya. Kadar cukai jualan untuk barangan adalah berbeza, iaitu 5%, 10% atau kadar-kadar lain bergantung pada barangan yang ditetapkan manakala kadar cukai perkhidmatan ialah 6%. ### Formula Penting - **Pendapatan Bercukai** $$Pendapatan Bercukai = Jumlah Pendapatan Tahunan - Pengecualian Cukai - Pelepasan Cukai$$ - **Cukai Atas Baki** $$Cukai Atas Baki berikutnya = (Pendapatan Bercukai - Batas Pengiraan Pertama Sesuai Banjaran Pendapatan Bercukai) Kadar Sesuai Banjaran Pendapatan Bercukai$$ - **Cukai Pendapatan** $$Cukai Pendapatan = Cukai Dasar + Cukai Atas Baki - Rebat Cukai$$ Di mana Cukai Dasar ialah nilai cukai ketika pengiraan pertama di banjaran pendapatan bercukai terpenuhi. - **Peraturan PCB** - Cukai Pendapatan $$ PCB: $$Cukai - PCB = Bayaran cukai yang tidak mencukupi Bayaran cukai yang tidak mencukupi perlu dijelaskan kepada LHDN$$ - Cukai Pendapatan $$ PCB: $$PCB - Cukai = Lebihan potongan Lebihan potongan PCB akan dipulangkan oleh LHDN ke dalam akaun bank pembayar cukai $$ - **Cukai Jalan** $$Cukai Jalan = Kadar Asas + (Enjin cc - cc Kadar Progresif) Kadar Progresif$$ - **Cukai Pintu** $$Jumlah Cukai Pintu = Kadar Cukai Pintu Nilai Tahunan$$ - **Cukai Tanah** $$Jumlah Cukai Tanah = Kadar Cukai Tanah Setiap Unit Keluasan Jumlah Keluasan Tanah$$ - **Cukai Perkhidmatan** $$Cukai Perkhidmatan = Harga Perkhidmatan Bilangan perkhidmatan Peratusan Kadar Cukai Perkhidmatan$$ ### Contoh - **Contoh**: Dania memperoleh pendapatan tahunan sebanyak RM40000. Jika Pengecualian cukai sebanyak RM10000 & Pelepasan Cukai sebanyak RM15000. Kira pendapatan bercukai Encik Rama - Langkah 1: Gunakan formula: $$Pendapatan Bercukai =Jumlah Pendapatan Tahunan - Pengecualian Cukai -Pelepasan Cukai$$ - Langkah 2: Gantikan nilai kedalam formula: $$Pendapatan Bercukai = RM40000 - RM10000 - RM15000(Pengecualian termasuk derma perpustakaan)$$ $$= RM15000$$ ### Topik Berkaitan - **Matematik Kewangan** - **Persamaan Algebra** ### Soalan Ulangkaji Pantas - Puan Aishah mempunyai jumlah pendapatan tahuanan sebanyak RM61593 pada tahun 2020. Jumlah pelepasan cukai yang dituntut olehnya adalah sebanyak RM14320. Dia telah membayar zakat sebanyak RM700 pada tahun tersebut. Hitung cukai pendapatan yang perlu dibayar oleh Puan Aishah. - Pendapatan bercukai Puan Siew adalah sebanyak RM75311. Setiap bulan gajinya dipotong sebanyak RM300 untuk potongan cukai bulanan (PCB). Namun, jumlah PCB tidak mencukupi untuk membayar cukai pendapatannya. Berapakah bayaran baki cukai pendapatan yang perlu dibuat kepada pihak LHDN?
Matematik Pengguna: Percukaian
Dua segitiga $ \triangle ABC $ dan $ \triangle DEF $ adalah kongruen. Jika $ \angle A = 40^\circ $ dan $ \angle B = 60^\circ $, cari $ \angle F $.
# Explanation
Why 80° is correct:
- First, find ∠C in triangle ABC: ∠A + ∠B + ∠C = 180°, so 40° + 60° + ∠C = 180°, giving ∠C = 80°
- Since triangles ABC and DEF are congruent, their corresponding angles are equal
- The typical correspondence is A↔D, B↔E, C↔F, so ∠F = ∠C = 80°
Why the other options are wrong:
- 60° — This is ∠B, not ∠F
- 100° — This doesn't match any angle in triangle ABC
- 70° — This isn't an angle in triangle ABC (which has 40°, 60°, and 80°)
Sebuah segi empat tepat mengalami pembesaran dengan faktor skala 3. Jika panjang asal ialah $ 2 \, \text{cm} $ dan lebar $ 4 \, \text{cm} $, cari luas segi empat tepat yang diperbesar.
# Penjelasan
Jawapan betul: A (72 cm²)
Apabila sebuah bentuk diperbesar dengan faktor skala 3, kedua-dua panjang dan lebar didarab dengan 3:
- Panjang baru = 2 × 3 = 6 cm
- Lebar baru = 4 × 3 = 12 cm
- Luas baru = 6 × 12 = 72 cm²
Mengapa pilihan lain salah:
- B (48 cm²): Hanya satu dimensi didarab dengan 3 (hasil 2 × 3 × 4 = 24, kemudian didarab 2)
- C (36 cm²): Faktor skala tidak digunakan dengan betul; ini hanya 9 × 4
- D (64 cm²): Tidak ada kaitan dengan faktor skala 3 dan dimensi asal
Penting: Luas diperbesar dengan kuasa dua faktor skala, iaitu 3² = 9, jadi luas asal (2 × 4 = 8) × 9 = 72 cm²
Sebuah bentuk mengalami gabungan transformasi: pantulan pada paksi $ y $ diikuti dengan translasi $ \begin{bmatrix} 3 \\ -2 \end{bmatrix} $. Jika titik asal ialah $ (4, 5) $, cari koordinat imej akhir.
# Explanation
Why A is correct:
- Step 1 (Reflection on y-axis): Point (4, 5) reflects on the y-axis → the x-coordinate changes sign: (-4, 5)
- Step 2 (Translation by 3, -2): Add the translation vector: (-4 + 3, 5 + (-2)) = (-1, 3) ✓
Why others are wrong:
- B (1, -3): This reverses the translation direction or skips the reflection step correctly
- C (7, 3): This assumes reflection on the x-axis instead of y-axis, or doesn't reflect at all
- D (-1, -7): This reflects correctly but applies the translation as (-4, 5) + (-3, -2) instead of (3, -2), or reflects the y-coordinate incorrectly
Satu teselasi dibuat menggunakan heksagon biasa. Bolehkah heksagon ini membentuk teselasi lengkap tanpa ruang kosong?
# Penjelasan
Jawapan betul: A (Ya)
• Heksagon biasa mempunyai sudut dalam 120°. Apabila tiga heksagon bertemu di satu titik, sudutnya menjadi 3 × 120° = 360°, yang tepat mengisi ruang tanpa celah.
• Ini bermakna heksagon boleh membentuk teselasi lengkap dengan sendirinya—contohnya sarang lebah menunjukkan corak ini.
Mengapa pilihan lain salah:
• B: Tidak benar—heksagon boleh membentuk teselasi sempurna sendiri tanpa bentuk tambahan.
• C: Saiz tidak penting untuk teselasi. Heksagon dengan saiz berapa pun tetap dapat mengisi ruang jika diatur dengan betul.
• D: Tidak perlu segi tiga tambahan. Heksagon sahaja sudah mencukupi untuk teselasi lengkap.
Dua segitiga serupa mempunyai faktor skala $ 2:5 $. Jika luas segitiga kecil ialah $ 8 \, \text{cm}^2 $, cari luas segitiga besar.
Why A is correct:
When two shapes are similar with a linear scale factor of 2:5, their areas scale by the *square* of that factor: (2:5)² = 4:25. If the small triangle has area 8 cm², then 8/A = 4/25, so A = 8 × 25/4 = 50 cm².
Why others are wrong:
- B (40 cm²): This comes from multiplying 8 by 5 only—forgetting to square the scale factor.
- C (25 cm²): This incorrectly uses 25 as if it were a direct multiplier, not a squared ratio.
- D (45 cm²): No clear relationship to the scale factor; likely a distractor.
Dua bulatan kongruen dilukis dengan pusat pada $ (0, 0) $ dan $ (5, 0) $. Jika jejari setiap bulatan ialah $ 2 $, cari jarak antara dua pusat.
Why A is correct:
The distance between two points is found using the distance formula: d = √[(x₂−x₁)² + (y₂−y₁)²]. With centers at (0, 0) and (5, 0), the distance is √[(5−0)² + (0−0)²] = √25 = 5 units. The radius of each circle is not needed to find the distance between centers—it's only relevant if you're asked about whether the circles overlap.
Why others are wrong:
- B (3 units): This incorrectly subtracts the radii (5 − 2 = 3), but the question asks for the distance between centers, not the gap between the circles.
- C (6 units): This incorrectly adds the radii (5 + 1 = 6 or similar), which doesn't apply here.
- D (4 units): This might confuse the radius value with the distance calculation; it has no mathematical basis.
Sebuah bentuk mengalami gabungan transformasi: putaran $ 90^\circ $ mengikut arah jam diikuti dengan translasi $ \begin{bmatrix} -2 \\ 3 \end{bmatrix} $. Jika titik asal ialah $ (1, 2) $, cari koordinat bentuk akhir.
# Penjelasan
Jawapan betul: (0, 2)
• Langkah 1 - Putaran 90° jam: Titik (1, 2) diputar 90° mengikut arah jam menggunakan rumus (x, y) → (y, -x), memberikan (2, -1).
• Langkah 2 - Translasi -2/3: Tambahkan vektor translasi (-2, 3) kepada (2, -1): (2 - 2, -1 + 3) = (0, 2) ✓
Mengapa pilihan lain salah:
- B (-3, 5): Hasil jika translasi ditambah sebelum putaran (tertib salah)
- C (-2, 1): Hanya melakukan putaran tanpa translasi lengkap
- D (2, 3): Hasil jika putaran berlawanan arah jam atau kesalahan pengiraan
Sebuah segi empat tepat mengalami pembesaran skala dengan faktor 2. Jika panjang sisi asalnya ialah 3 cm dan lebar sisi asalnya ialah 5 cm, cari panjang dan lebar bagi segi empat tepat yang diperbesarkan?
# Explanation
Why A is correct:
When scaling by factor 2, multiply each dimension by 2:
- Length: 3 cm × 2 = 6 cm
- Width: 5 cm × 2 = 10 cm
Why others are wrong:
- B (6 cm and 8 cm): Length is correct (3 × 2 = 6), but width is wrong (5 × 2 ≠ 8)
- C (5 cm and 7 cm): Neither dimension is scaled correctly by factor 2
- D (9 cm and 15 cm): These look like multiplying by 3, not 2 (3 × 3 = 9; 5 × 3 = 15)
Dua segitiga adalah serupa dengan faktor skala $ 3:4 $. Jika perimeter segitiga yang lebih besar ialah $ 28 \, \text{cm} $, apakah perimeter segitiga yang lebih kecil?
Correct Answer: 21 cm
When triangles are similar with scale factor 3:4, this means the smaller triangle's sides are 3/4 the size of the larger triangle's sides. Since perimeter is the sum of all sides, it scales the same way.
If the larger perimeter is 28 cm, multiply by the ratio 3/4: 28 × (3/4) = 21 cm ✓
Why others are wrong:
- 24 cm: This would be 28 × (6/7)—incorrect ratio
- 19 cm: No logical relationship to the scale factor
- 16 cm: This is 28 × (4/7)—you'd get this by reversing the ratio or miscalculating
Satu segitiga mengalami translasi oleh $ (3, -2) $. Jika koordinat asalnya ialah $ (1, 1), (4, 1), (1, 4) $, apakah koordinat baru?
# Explanation
Correct Answer: A
Translation means adding the translation vector to each coordinate. Add (3, -2) to each point:
- (1, 1) + (3, -2) = (4, -1) ✓
- (4, 1) + (3, -2) = (7, -1) ✓
- (1, 4) + (3, -2) = (4, 2) ✓
Why others are wrong:
- B: Added (3, +1) instead of (3, -2)—used wrong y-value for translation
- C: Only added 2 to x instead of 3—incomplete translation in x-direction
- D: Added different values entirely, not matching the translation vector (3, -2)
Satu segitiga mengalami putaran $ 180^\circ $ pada asalan. Apakah yang berlaku pada titik $ (2, 3) $?
Why A is correct:
A 180° rotation around the origin flips a point to the opposite side. The rule is: (x, y) → (-x, -y). So (2, 3) becomes (-2, -3).
Why others are wrong:
- B (3, -2): This swaps and negates coordinates—that's a 90° rotation, not 180°.
- C (-3, 2): Same issue—this is also a 90° rotation pattern, not 180°.
- D (2, -3): This only negates the y-coordinate, which is a reflection across the x-axis, not a rotation.
Sebuah segi empat tepat dipantulkan pada paksi-y. Jika titik asal ialah (2, 3), (-1, 4), (0, -2), (3, 5), maka titik pantulan ialah?
# Reflection across the y-axis
Why A is correct:
When reflecting across the y-axis, the x-coordinate changes sign (positive becomes negative, negative becomes positive), but the y-coordinate stays the same.
- (2, 3) → (-2, 3) ✓
- (-1, 4) → (1, 4) ✓
- (0, -2) → (0, -2) ✓ (0 stays 0)
- (3, 5) → (-3, 5) ✓
Why others are wrong:
- B: Changes both coordinates' signs—this is reflection across the origin, not the y-axis
- C: Changes both coordinates' signs (same error as B)
- D: No change at all—this is no reflection
Tentukan jenis transformasi: Sebuah bentuk dipindahkan sebanyak 3 unit ke kanan dan 2 unit ke atas.
Correct Answer: Translasi (Translation)
- Translasi adalah perpindahan bentuk ke arah dan jarak tertentu tanpa mengubah ukuran atau orientasi. Soal menyebutkan bentuk dipindahkan 3 unit ke kanan dan 2 unit ke atas—ini adalah deskripsi sempurna dari translasi.
Mengapa opsi lain salah:
- Pantulan (Reflection): mencerminkan bentuk terhadap garis (sumbu), bukan memindahkan dalam arah tertentu
- Putaran (Rotation): memutar bentuk di sekitar titik pusat, bukan menggeser ke kanan-atas
- Pembesaran (Enlargement): mengubah ukuran bentuk, bukan hanya memindahkan posisinya
Titik $ (3, -4) $ dipantulkan pada paksi-x, apakah koordinat setelah pantulan?
Correct Answer: (3, 4)
When reflecting a point on the x-axis, the x-coordinate stays the same, but the y-coordinate changes sign (becomes its opposite). Since (3, -4) has y = -4, the reflection gives (3, 4).
Why the others are wrong:
- B. (-3, 4) – Changes both coordinates; only the y-coordinate should change in x-axis reflection
- C. (3, -4) – This is the original point; reflection must change something
- D. (-3, -4) – Changes the x-coordinate, which shouldn't happen in x-axis reflection
Segi tiga mengalami putaran $90^\circ $ arah jam. Apakah koordinat akhir titik $ (5, 2) $?
# Penjelasan Rotasi 90° Searah Jam
Rumus rotasi 90° searah jam: (x, y) → (y, -x)
Jawaban benar: A. (2, -5)
- Titik (5, 2) diputar 90° searah jam menjadi (2, -5)
- Aplikasi rumus: x menjadi y (5 → 2), dan y menjadi -x (2 → -5) ✓
Mengapa opsi lain salah:
- B. (-5, -2): Ini adalah rotasi 180°, bukan 90°
- C. (-2, 5): Ini adalah rotasi 90° berlawanan arah jam (rumus: (-y, x))
- D. (5, -2): Hanya mengubah tanda y; ini adalah pencerminan, bukan rotasi
Jika $ (3, 4) $ ditransformasi dan menghasilkan $ (-3, 4) $, apakah jenis transformasi yang digunakan?
Pantulan pada paksi-y (Reflection on the y-axis) ✓
When you reflect a point on the y-axis, the y-coordinate stays the same but the x-coordinate changes sign. Here, (3, 4) → (-3, 4): the y-coordinate (4) didn't change, only the x-coordinate flipped from positive to negative.
Why the others are wrong:
- Putaran 180° (Rotation 180°): This would give (-3, -4), not (-3, 4)—both coordinates would change sign.
- Translasi (Translation): This shifts points by adding the same amount to coordinates; it can't explain the sign change in just the x-coordinate.
- Pantulan pada paksi-x (Reflection on the x-axis): This would give (3, -4)—only the y-coordinate would change sign, not the x-coordinate.
Satu teselasi dibuat menggunakan pentagon biasa. Bolehkah pentagon ini membentuk teselasi lengkap tanpa ruang kosong?
Jawaban yang benar: A (Tidak)
Mengapa A benar:
Pentagon biasa memiliki sudut dalam 108°. Untuk membentuk teselasi sempurna, sudut-sudut di setiap titik sudut harus berjumlah 360°. Karena 360° ÷ 108° = 3,33... (bukan angka bulat), pentagon biasa tidak bisa mengelilingi satu titik dengan sempurna tanpa celah atau tumpang tindih.
Mengapa pilihan lain salah:
- B: Pentagon tidak teratur bisa membentuk teselasi tertentu, tetapi pertanyaannya spesifik tentang pentagon *biasa* (regular)
- C: Teselasi yang benar tidak boleh memiliki bentuk yang tumpang tindih atau bertindih
- D: Menambahkan heksagon berarti itu bukan teselasi pentagon saja lagi—itu adalah teselasi campuran
Sebuah segi empat selari mengalami pantulan pada paksi-y. Jika salah satu titik sudut segi empat selari asal ialah (2, 3), apakah koordinat akhir titik tersebut?
# Penjelasan
Jawapan yang betul: A. (-2, 3)
Apabila pantulan berlaku pada paksi-y, hanya koordinat-x yang berubah tanda, manakala koordinat-y tetap sama. Titik asal (2, 3) menjadi (-2, 3).
Mengapa pilihan lain salah:
- B. (2, -3) – Ini adalah pantulan pada paksi-x, bukan paksi-y
- C. (-2, -3) – Ini adalah putaran 180° pada asalan, bukan pantulan pada paksi-y
- D. (2, 3) – Ini adalah titik asal tanpa sebarang transformasi
Sebuah segi empat sama mempunyai bucu pada $ (1, 1), (1, 3), (3, 1), (3, 3) $. Selepas putaran $ 90^\circ $ mengikut arah jam, apakah koordinat baru bagi bucu di $ (1, 1) $?
# Explanation
Why A is correct:
When rotating 90° clockwise around the origin, use the rule: (x, y) → (y, -x). For point (1, 1): (1, 1) → (1, -1). ✓
Why others are wrong:
- B (-1, -1): This is a 180° rotation, not 90°.
- C (-1, 1): This is a 90° counter-clockwise rotation (opposite direction).
- D (1, 1): This assumes no rotation occurred.
Sebuah segi empat tepat dengan panjang sisi $ 5 \, \text{cm}$ dan lebar sisi $7 \, \text{cm} $ diperbesar dengan faktor skala $ 3 $. Cari panjang sisi dan lebar sisi segi empat tepat yang diperbesar
# Penjelasan
Jawaban Benar: A (15 cm × 21 cm)
- Ketika diperbesar dengan faktor skala 3, kalikan kedua dimensi dengan 3
- Panjang: 5 cm × 3 = 15 cm
- Lebar: 7 cm × 3 = 21 cm
Mengapa pilihan lain salah:
- B (10 cm × 14 cm): Ini hanya dikalikan 2, bukan 3
- C (20 cm × 28 cm): Panjangnya benar (5 × 4), tapi faktor skala tidak konsisten dengan lebar
- D (8 cm × 16 cm): Tidak ada hubungan dengan faktor skala 3 terhadap ukuran asli
Practise any of these free
Make an account in under a minute, or try it as a guest first.
Start learning free