Bab 2 Matrik
Matematik Tingkatan 5 · 8 lessons
Cover
## Asas Matriks ### Definisi Matriks adalah susunan segi empat elemen atau nombor yang diatur dalam baris dan lajur. Ia digunakan dalam pelbagai pengiraan matematik, seperti menyelesaikan sistem persamaan dan melakukan transformasi. - Sebuah matriks diwakili sebagai: $$A = bmatrix a_{11} & a_{12} & & a_{1n} a_{21} & a_{22} & & a_{2n} & & & a_{m1} & a_{m2} & & a_{mn} bmatrix$$ di mana $a_{ij}$ merujuk kepada elemen dalam baris ke-$i$ dan lajur ke-$j$. ### Konsep Utama - **Susunan Matriks**: Didefinisikan oleh bilangan baris ($m$) dan lajur ($n$), diwakili sebagai $m n$. - **Matriks Segi Empat**: Matriks di mana bilangan baris adalah sama dengan bilangan lajur ($m = n$). - **Matriks Perpenjuru**: matriks dengan unsur bukan sifar pada pepenjuru utamanya - **Matriks Kosong**: Matriks di mana semua elemennya adalah sifar. ### Formula Penting - **Penambahan dan Penolakan Matriks**: $$bmatrix a & b c & d bmatrix bmatrix e & f g & h bmatrix = bmatrix a e & b f c g & d h bmatrix$$ Matriks mesti mempunyai order yang sama untuk ditambah atau ditolak. - **Pendaraban Skalar**: $$kbmatrix a & b c & d bmatrix = bmatrix ka & kb kc & kd bmatrix$$ Setiap elemen matriks didarab dengan skalar $k$. - **Pendaraban Matriks**: $$m.n{A} x n.p{B} = m.p{AB} bmatrix a & b c & d bmatrix bmatrix e & f g & h bmatrix = bmatrix ae+bg & af+bh ce+dg & cf+dh bmatrix$$ Pendaraban matriks hanya didefinisikan apabila bilangan lajur dalam $A$ sepadan dengan bilangan baris dalam $B$. ### Operasi Asas Matriks - **Matriks Identiti**: $$I_n = bmatrix 1 & 0 & & 0 0 & 1 & & 0 & & & 0 & 0 & & 1 bmatrix$$ - **Matriks Songsang (untuk Matriks $2 2$)**: Songsangan sebuah matriks $2 2$ diberikan oleh: $$A^{-1} = 1{ad - bc} bmatrix d & -b -c & a bmatrix$$ di mana $A = bmatrix a & b c & d bmatrix$ - **Penentu Matriks $2 2$**: Penentu $A = bmatrix a & b c & d bmatrix$ adalah: $$Penentu(A) = ad - bc$$ - **Penyelesaian Algebra Mudah dengan Matriks**: Selesaikan untuk $x$ dalam persamaan: $$bmatrix x & 2 3 & 4 bmatrix + bmatrix 1 & 0 2 & 1 bmatrix = bmatrix 5 & 2 5 & 5 bmatrix$$ Penyelesaian: $$bmatrix x & 2 3 & 4 bmatrix = bmatrix 5 & 2 5 & 5 bmatrix - bmatrix 1 & 0 2 & 1 bmatrix$$ $$bmatrix x & 2 3 & 4 bmatrix = bmatrix 4 & 2 3 & 4 bmatrix$$ Oleh itu, $x = 4$. ### Contoh - **Contoh Asas**: Diberi $A = bmatrix 1 & 2 3 & 4 bmatrix$ dan $B = bmatrix 5 & 6 7 & 8 bmatrix$, cari $A + B$. $$A + B = bmatrix 1+5 & 2+6 3+7 & 4+8 bmatrix = bmatrix 6 & 8 10 & 12 bmatrix$$ - **Aplikasi Lanjutan**: Darabkan $A = bmatrix 1 & 2 3 & 4 bmatrix$ dengan $B = bmatrix 2 & 0 1 & 3 bmatrix$. $$AB = bmatrix (1 2 + 2 1) & (1 0 + 2 3) (3 2 + 4 1) & (3 0 + 4 3) bmatrix = bmatrix 4 & 6 10 & 12 bmatrix$$ ### Kesilapan Lazim - Cuba menambah atau menolak matriks dengan order yang berubah. - Menganggap bahawa pendaraban matriks adalah komutatif ($AB BA$). - Lupa untuk memeriksa sama ada penentu bukan sifar sebelum mencari songsangan matriks. ### Topik Berkaitan - **Penentu dan Songsangan Matriks** - **Persamaan Linear dan Sistem Persamaan** ### Soalan Ulangkaji Pantas - Apakah hasil pendaraban $A = bmatrix 1 & 3 2 & 4 bmatrix$ dengan $B = bmatrix 2 & 0 1 & 5 bmatrix$? - Bagaimana anda mencari transpose matriks $A = bmatrix 4 & 5 6 & 7 bmatrix$? - Cari Songsangan $A = bmatrix 2 & 1 5 & 3 bmatrix$, jika wujud. - Selesaikan untuk $x$ dalam persamaan: $$bmatrix x & 1 2 & 3 bmatrix + bmatrix 3 & 2 1 & 1 bmatrix = bmatrix 5 & 3 3 & 4 bmatrix.$$
Matrik
Selesaikan $ x $ dalam persamaan berikut: $$\begin{bmatrix} x & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 5 & 5 \end{bmatrix}$$
# Explanation
Why A (4) is correct:
This is a matrix equation where you add two 2×2 matrices on the left to get the matrix on the right. Looking at the top-left elements: x + 1 = 5, so x = 4. You can verify this works for all other positions too (2 + 0 = 2, 3 + 2 = 5, 4 + 1 = 5).
Why the others are wrong:
- B (3): Would give 3 + 1 = 4 in the top-left, not 5
- C (5): Would give 5 + 1 = 6 in the top-left, not 5
- D (2): Would give 2 + 1 = 3 in the top-left, not 5
Jika $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} $ dan $XA = \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ 9 & 12 \end{bmatrix} $, cari $X$:
Correct Answer: A (3)
To find X, we need to solve XA = B where B = [3 6; 9 12]. Since X is a scalar (single number), we can multiply it by each element of A. This means: X·1=3, X·2=6, X·3=9, X·4=12. All of these give X = 3. ✓
Why others are wrong:
- B (2): Would give XA = [2 4; 6 8], which doesn't match [3 6; 9 12]
- C (4): Would give XA = [4 8; 12 16], which doesn't match
- D (5): Would give XA = [5 10; 15 20], which doesn't match
Apakah penentu matriks berikut: $$\begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}$$
# Determinant of a 2×2 Matrix
Why A (10) is correct:
For a 2×2 matrix, determinant = (top-left × bottom-right) − (top-right × bottom-left)
= (3 × 4) − (2 × 1) = 12 − 2 = 10 ✓
Why others are wrong:
- B (5): This would be 12 − 7, which doesn't follow the determinant formula
- C (8): This ignores the subtraction step; it's just 3 + 2 + 1 + 2
- D (12): This is only the first multiplication (3 × 4), missing the second term and subtraction
Apakah penentu matriks berikut: $$\begin{bmatrix} 3 & 8 \\ 4 & 6 \end{bmatrix}$$
Why A is correct:
For a 2×2 matrix, the determinant = (top-left × bottom-right) − (top-right × bottom-left). Here: (3 × 6) − (8 × 4) = 18 − 32 = −14 ✓
Why others are wrong:
- B (−16): Wrong calculation; maybe confused the order of subtraction
- C (14): Right numbers but wrong sign; this is the positive version of the correct answer
- D (16): Both wrong sign and wrong value; combination of errors
Selesaikan persamaan linear serentak berikut menggunakan matriks:$$x - y = 7$$$$x + 3y = 5$$
Correct Answer: A (x = 6,5 dan y = -0,5)
Using matrix method:
- Write as AX = B where A = [[1, -1], [1, 3]], X = [[x], [y]], B = [[7], [5]]
- Find determinant: det(A) = (1)(3) - (-1)(1) = 4
- Apply Cramer's rule: x = (7×3 - 5×(-1))/4 = 26/4 = 6,5 ✓
- Apply Cramer's rule: y = (1×5 - 7×1)/4 = -2/4 = -0,5 ✓
Why others are wrong:
- B & D: Wrong sign for x (negative instead of positive)
- C: Wrong sign for y (positive instead of negative) — common error from calculation mistakes
Selesaikan persamaan linear serentak berikut menggunakan matriks:$$x - 2y = 1$$$$3x - 4y = 4$$
# Penyelesaian
Mengapa A benar:
Tulis dalam bentuk matriks: [1 -2; 3 -4][x; y] = [1; 4]
Gunakan invers matriks atau eliminasi:
- Persamaan 1: x - 2y = 1
- Persamaan 2: 3x - 4y = 4
Dari persamaan 1: x = 1 + 2y
Substitusi ke persamaan 2: 3(1 + 2y) - 4y = 4 → 3 + 6y - 4y = 4 → 2y = 1 → y = 1/2
Maka: x = 1 + 2(1/2) = 2 ✓
Mengapa opsi lain salah:
- B & D: Nilai x negatif tidak memenuhi persamaan (substitusi tidak cocok)
- C: y negatif tidak memenuhi persamaan pertama (2 - 2(-1/2) = 3 ≠ 1)
Practise any of these free
Make an account in under a minute, or try it as a guest first.
Start learning free